Question

对于函数f（x），若x₀∈R使得f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的不动点．如果函数f(x)=

x2+a

bx-c

(b∈N*)，有且仅有两个不动点-1，1，且f（-2）＜f（-1），则函数f（x）的解析式为

f（x）=

x2+1

2x

．

Answer 1

分析：利用函数f（x）=（b∈N^*）有且仅有两个不动点-1、1，可得-1，1是方程f（x）=x的根，根据方程组可得c值及a，b间的关系式，由f（-2）＜f（-1）可确定b的范围，从而可确定b，a的值，进而可得函数解析式．

解答：解：（1）设

x2+a

bx-c

=x⇒（1-b）x2+cx+a=0（b≠1），
∵f（x）有两个不动点-1，1，
∴

-1+1= -c 1-b -1×1= a 1-b

，解得c=0，a=b-1，
又f（-2）＜f（-1），所以

4+a

-2b-c

＜

1+a

-b-c

，
把c=0，a=b-1代入该式并化简得，b＜3，
因为b∈N^*，b≠1，所以b=2，则a=1．
∴f（x）=

x2+1

2x

．
故答案为：f(x)=

x2+1

2x

．

点评：本题以函数为载体，考查新定义，考查函数解析式，考查学生运用所学知识分析解决问题的能力，有一定难度．