Question

14．在等比数列{a_n}中，已知对任意正整数n，a₁+a₂+…+a_n=3ⁿ-1，则a₁²+a₂²+…+a_n²=$\frac{{9}^{n}-1}{2}$．

Answer 1

分析 由a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$能求出${a}_{n}=2•{3}^{n-1}$，从而得到${{a}_{n}}^{2}=4•{9}^{n-1}$，由此能求出a₁²+a₂²+…+a_n²的值．

解答 解：∵在等比数列{a_n}中，a₁+a₂+…+a_n=3ⁿ-1，
∴a₁=3-1=2，
a_n=S_n-S_n-1=（3ⁿ-1）-（3^n-1-1）=$\frac{2}{3}•{3}^{n}$=2•3^n-1，
∴${{a}_{n}}^{2}=4•{9}^{n-1}$，
∴a₁²+a₂²+…+a_n²=4×（1+9+9²+…+9^n-1）
=4×$\frac{1-{9}^{n}}{1-9}$
=$\frac{{9}^{n}-1}{2}$．
故答案为：$\frac{{9}^{n}-1}{2}$．

点评 本题考查等比数列的各项的平方的和的求法，是中档题，解题时要注意等比数列的性质和公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$的合理运用．