【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)若是奇函数,且在区间
上是增函数,求
的值;
(Ⅱ)设,若
在区间
内有两个不同的零点
,
,求
的取值范围,并求
的值.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
的取值范围是
;
【解析】试题分析:(I)根据奇函数的性质可得 ,分
和
两种情况,讨论函数的单调性,使其满足在区间
上是增函数,从而得出
的值;
(II)令 可得
,作出
的函数图象,根据图象即可得出
的范围,从而得出
的范围,根据
得出
的关系,利用对数的运算性质化简即可得出
的值.
试题解析:(Ⅰ)因为是奇函数,所以
,所以
.
解得, ,或者
.
当时,
,则
,
但,显然不符合要求
当时,
,对于任意的
,
,设
,
,
即,所以
在区间
上是增函数,满足要求.
所以.
(Ⅱ)作出
的函数图象,如图所示,
,
令得
,
设,则
,
所以,
.
当时,
是减函数,
,
当时,
是增函数,
,
所以,要使在
内有两个根
当且仅当,即
,
所以的取值范围是
.
不妨设,则
,
,
所以,
,
,所以
.
所以
.
(或者,
,
所以,所以
.)
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【题目】如图,在边长为3的菱形ABCD中,∠ABC=60°,平面ABCD,且
,E为PD中点,F在棱PA上,且
.
(1)求证:CE∥平面BDF;
(2)求点P到平面BDF的距离.
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【题目】对于函数,若在定义域内存在实数
,满足
,则称
为“局部奇函数”.
为定义在
上的“局部奇函数”;
曲线
与
轴交于不同的两点;
若为假命题,
为真命题,求
的取值范围.
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【题目】下面是某市环保局连续30天对空气质量指数的监测数据:
61 76 70 56 81 91 55 91 75 81
88 67 101 103 57 91 77 86 81 83
82 82 64 79 86 85 75 71 49 45
(Ⅰ)完成下面的频率分布表;
(Ⅱ)完成下面的频率分布直方图,并写出频率分布直方图中的值;
(Ⅲ)在本月空气质量指数大于等于91的这些天中随机选取两天,求这两天中至少有一天空气质量指数在区间内的概率.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程:
(
为参数),曲线
上的点
对应的参数
.以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,点
的极坐标是
,直线
过点
,且与曲线
交于不同的两点
,
.
(1)求曲线的普通方程;
(2)求的取值范围.
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【题目】(1)求的展开式中
的系数及展开式中各项系数之和;
(2)从0,2,3,4,5,6这6个数字中任取4个组成一个无重复数字的四位数,求满足条件的四位数的个数.
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【题目】已知向量,函数
,若函数
的图象与
轴的两个相邻交点的距离为
.
(1)求函数的单调区间;
(2)若时,
,求
的值.
(3)若,且
有且仅有一个实根,求实数
的值.
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【题目】某校高一年级某次数学竞赛随机抽取名学生的成绩,分组为
,统计后得到频率分布直方图如图所示:
(1)试估计这组样本数据的众数和中位数(结果精确到);
(2)年级决定在成绩中用分层抽样抽取
人组成一个调研小组,对髙一年级学生课外学习数学的情况做一个调查,则在
这三组分別抽取了多少人?
(3)现在要从(2)中抽取的人中选出正副
个小组长,求成绩在
中至少有
人当选为正、副小组长的概率.
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【题目】某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.
(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;
(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为,求
的分布列和数学期望.
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