Question

3．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{2}{3}$，a_n+1=$\frac{{a}_{n}-2}{2{a}_{n}-3}$（n∈N^*）． 
（Ⅰ）求证：{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是等差数列；并求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{n（2n+3）}$，记数列{b_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a_n+1=$\frac{{a}_{n}-2}{2{a}_{n}-3}$（n∈N^*），可得a_n+1-1=$\frac{-（{a}_{n}-1）}{2{a}_{n}-3}$，两边取倒数化为：$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=-2．再利用等差数列的通项公式即可得出．
（II）由b_n=$\frac{\frac{2n}{2n+1}}{n（2n+3）}$=$\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：由a_n+1=$\frac{{a}_{n}-2}{2{a}_{n}-3}$（n∈N^*），
可得a_n+1-1=$\frac{-（{a}_{n}-1）}{2{a}_{n}-3}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{-（2{a}_{n}-3）}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-2，化为$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=-2．

∴{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是等差数列，首项为-3，公差为-2．
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=-3-2（n-1）=-2n-1，
∴a_n=$\frac{2n}{2n+1}$．
（II）解：∵b_n=$\frac{{a}_{n}}{n（2n+3）}$=$\frac{\frac{2n}{2n+1}}{n（2n+3）}$=$\frac{2}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}$，
∴S_n=$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$
=$\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$=$\frac{2n}{6n+9}$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．