Question

15．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ，则a₁C_n⁰+a₂C_n¹+a₃C_n²+…+a_n+1C_nⁿ=4ⁿ+2ⁿ．

Answer 1

分析 设S_n+1=a₁C_n⁰+a₂C_n¹+a₃C_n²+…+a_n+1C_nⁿ，倒叙可得：S_n+1=a_n+1C_nⁿ+${a}_{n}{∁}_{n}^{n-1}$+…+a₂C_n¹+a₁C_n⁰，相加可得：2S_n+1=（a₁+a_n+1）$（{∁}_{n}^{0}+{∁}_{n}^{1}+…+{∁}_{n}^{n}）$=（2+2ⁿ⁺¹）×2ⁿ，即可得出．

解答 解：设S_n+1=a₁C_n⁰+a₂C_n¹+a₃C_n²+…+a_n+1C_nⁿ，
则S_n+1=a_n+1C_nⁿ+${a}_{n}{∁}_{n}^{n-1}$+…+a₂C_n¹+a₁C_n⁰，
∴2S_n+1=（a₁+a_n+1）$（{∁}_{n}^{0}+{∁}_{n}^{1}+…+{∁}_{n}^{n}）$=（2+2ⁿ⁺¹）×2ⁿ，
∴S_n+1=（1+2ⁿ）×2ⁿ=4ⁿ+2ⁿ．
故答案为：4ⁿ+2ⁿ．

点评 本题考查了二项式定理、等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．