Question

7．若“函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+cos2x-m在[0，$\frac{π}{2}$]上有两个零点”是“（m-a）（m-a-$\frac{1}{2}$）＜0”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是[1，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 求出f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+cos2x-m在[0，$\frac{π}{2}$]上两个交点的m的取值范围A，解不等式（m-a）（m-a-$\frac{1}{2}$）＜0求出解集B，则A?B，进而得到答案．

解答 解：若f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+cos2x-m=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x-m=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-m在[0，$\frac{π}{2}$]上有两个零点，
则函数y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）与y=m的图象有在[0，$\frac{π}{2}$]上有两个交点，
当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
故函数y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象如下图所示：

则m∈[1，2），
解“（m-a）（m-a-$\frac{1}{2}$）＜0”得：m∈（a，a+$\frac{1}{2}$），
若“函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+cos2x-m在[0，$\frac{π}{2}$]上有两个零点”是“（m-a）（m-a-$\frac{1}{2}$）＜0”的必要不充分条件，
则$\left\{\begin{array}{l}a≥1\\ a+\frac{1}{2}≤2\end{array}\right.$，
解得：a∈[1，$\frac{3}{2}$]，
故答案为：[1，$\frac{3}{2}$]

点评 本题主要考查方程根的存在性及个数判断，两角和差的正弦公式，充要条件，二次不等式的解法，体现了转化与数形结合的数学思想，属于中档题