Question

1．有下列四个命题：
①“若x+y≠2，则x≠1或y≠1”的逆命题；
②“若x²+3x-6≥0，则x＞2”的否命题；
③“若m≤1，则x²-2x+m=0有实根”的逆否命题；
④“m=-2”是“直线（m+2）x+my+1=0与（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的必要不充分条件．
其中真命题的是②③（填上你认为正确命题的序号）．

Answer 1

分析 ①写出该命题的逆命题，再判断逆命题的真假性；
②写出该命题的否命题，再判断否命题的真假性；
③判断原命题的真假性，从而得出它的逆否命题的真假性；
④判断命题的充分性与必要性是否成立即可．

解答 解：对于①，“若x+y≠2，则x≠1或y≠1”的逆命题是“若x≠1或y≠1，则x+y≠2”，∴①是假命题；
对于②，“若x²+3x-6≥0，则x＞2”的否命题是“若x²+3x-6＜0，则x≤2”，
∵不等式x²+3x-6＜0时，-$\frac{3+\sqrt{33}}{2}$＜x＜$\frac{\sqrt{33}-3}{2}$＜2，∴②是真命题；
对于③，∵m≤1时，△=4-4m≥0，∴方程x²-2x+m=0有实根，
∴“若m≤1，则x²-2x+m=0有实根”是真命题，它的逆否命题也是真命题，③是真命题；
对于④，m=-2时，直线（m+2）x+my+1=0为2y+1=0，
直线（m-2）x+（m+2）y-3=0为-2x-3=0，
两直线相互垂直，充分性成立；
当两直线互相垂直时，（m+2）（m-2）+m（m+2）=0，
解得m=-2或m=1，∴必要性不成立；
应是充分不不要条件，④是假命题．
综上，正确的命题序号是：②③．
故答案为：②③．

点评 本题考查了四种命题之间的关系的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是综合性题目．