Question

如图，已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的长轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直．直线（2-k）x-（1+2k）y+（1+2k）=0（k∈R）所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率e=

3

2

．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=PQ，连接AQ延长交直线l于点M，N为MB的中点．试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．

Answer 1

分析：（1）将直线方程整理得，解方程组求得直线所经过的定点，进而求得b，进而根据离心率求得a，则椭圆的方程可得．
（2）设P（x₀，y₀）代入椭圆方程，进而表示出Q的坐标，求得|OQ|推断出Q点在以O为圆心，2为半径的圆上．根据点A的坐标表示出直线AQ的方程，令x=0，表示出M和N的坐标，代入

NQ

•

OQ

求得结果为0，进而可推知OQ⊥QN，推断出直线QN与圆O相切．

解答：解：（1）将（2-k）x-（1+2k）y+（1+2k）=0
整理得（-x-2y+2）k+2x-y+1=0
解方程组

-x-2y+2=0 2x-y+1=0

得直线所经过的定点（0，1），所以b=1．
由离心率e=

3

2

得a=2．
所以椭圆的标准方程为

x2

4

+y2=1．

（2）设P（x₀，y₀），则

x02

4

+y02=1．
∵HP=PQ，∴Q（x₀，2y₀）．∴OQ=

x02+(2y02)

=2
∴Q点在以O为圆心，2为半径的圆上．
即Q点在以AB为直径的圆O上．
又A（-2，0），
∴直线AQ的方程为y=

2y0

x0+2

(x+2)．
令x=2，得M(2，

8y0

x0+2

)．又B（2，0），N为MB的中点，
∴N(2，

4y0

x0+2

)．
∴

OQ

=(x0，2y0)，

NQ

=(x0-2，

2x0y0

x0+2

)．
∴

OQ

•

NQ

=x0(x0-2)+2y0•

2x0y0

x0+2

=x0(x0-2)+

4x0y02

x0+2

=x0(x0-2)+

x0(4-x02)

x0+2

=x₀（x₀-2）+x₀（2-x₀）=0．
∴

OQ

⊥

NQ

．∴直线QN与圆O相切．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了考生综合分析问题和基本的运算能力．