Question

11．己知在等比数列{a_n}中，2a₂=a₁+a₃-1，a₁=1，数列{b_n}满足b₁$+\frac{{b}_{2}}{2}$$+\frac{{b}_{3}}{3}$+…$+\frac{{b}_{n}}{n}$=a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的前n项和为S_n，若?n∈N⁺，S_n＞λa_n恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得b₁+$\frac{{b}_{2}}{2}$+$\frac{{b}_{3}}{3}$+…+$\frac{{b}_{n}}{n}$=a_n=2^n-1，①b₁+$\frac{{b}_{2}}{2}$+$\frac{{b}_{3}}{3}$+…+$\frac{{b}_{n-1}}{n-1}$=2^n-2，②两式相减得到$\frac{{b}_{n}}{n}$=2^n-2，从而b_n=n•2^n-2．
（Ⅱ）运用错位相减法，可得S_n=（n-1）•2ⁿ+1．再由恒成立问题的解法，运用数列的单调性，即可得到所求．

解答 解：（Ⅰ）∵等比数列{a_n}中，2a₂=a₁+a₃-1，a₁=1，
∴2a₂=a₃，∴公比q=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=2，
∴a_n=2^n-1，
∴b₁+$\frac{{b}_{2}}{2}$+$\frac{{b}_{3}}{3}$+…+$\frac{{b}_{n}}{n}$=a_n=2^n-1，①
b₁+$\frac{{b}_{2}}{2}$+$\frac{{b}_{3}}{3}$+…+$\frac{{b}_{n-1}}{n-1}$=2^n-2，②
①-②，得：$\frac{{b}_{n}}{n}$=2^n-2，
∴b_n=n•2^n-2，n＞1，
即有b_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{n•{2}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）∵b_n=n•2^n-1，
∴S_n=1+2•2+3•2²+4•2³+…+n•2^n-1，③
2S_n=2+2•2²+3•2³+4•2⁴+…+n•2ⁿ，④
④-③，得：
S_n=-（1+2+2²+2³+…+2^n-1）+n•2ⁿ
=-$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$+n•2ⁿ
=（n-1）•2ⁿ+1．
?n∈N⁺，S_n＞λa_n恒成立，即为
λ＜$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=2（n-1）+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
由2n+$\frac{1}{{2}^{n}}$-2（n-1）-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$＞0，
则2（n-1）+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$为递增数列，
即有n=1取得最小值1，
则有λ＜1．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法和恒成立思想的合理运用．