Question

16．已知数列{b_n}是各项均为正的等比数列，且b₁=8，b₂+b₃=160．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设a_n=2n+1，G_n=a₁•b₁+a₂•b₂+…+a_n•b_n ，求G_n．

Answer 1

分析 （1）运用等比数列的通项公式，解方程可得q=4，进而得到通项公式；
（2）运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到．

解答 解：（1）设数列{b_n}的公比为q，由题意可得
8q+8q²=160，
解得q=4（-5舍去），
则b_n=8•4^n-1=2•4ⁿ=2²ⁿ⁺¹；
（2）G_n=a₁•b₁+a₂•b₂+…+a_n•b_n
=3•2³+5•2⁵+…+（2n+1）•2²ⁿ⁺¹；
4G_n=3•2⁵+5•2⁷+…+（2n+1）•2²ⁿ⁺³；
两式相减可得-3G_n=24+2（2⁵+2⁷+…+2²ⁿ⁺¹）-（2n+1）•2²ⁿ⁺³
=24+2（$\frac{32（1-{4}^{n-1}）}{1-4}$）-（2n+1）•2²ⁿ⁺³，
化简可得，G_n=$\frac{（1+6n）•{2}^{2n+3}-8}{9}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，属于中档题．