Question

6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c满足b²+c²=bc+a²．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求b，c．

Answer 1

分析 （1）根据条件结合余弦定理，建立方程关系即可求角A的大小；
（2）根据三角形的面积公式以及余弦定理建立方程关系即可得到结论．

解答 解：（1）由b²+c²=bc+a²．
得b²+c²-a²=bc，
则cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
即A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵a=2，A=$\frac{π}{3}$，
∴a²=b²+c²-2bccosA，
即4=b²+c²-bc．①
∵△ABC的面积为$\sqrt{3}$，
∴S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bcsin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=$\sqrt{3}$，
即bc=4．则①得b²+c²=8，
解得b=c=2．

点评 本题主要考查解三角形的应用，根据三角函数的面积公式以及余弦定理是解决本题的关键．