Question

5．已知直线l：y=2x和双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）无公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为（1，$\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 双曲线与直线y=2x无交点，有$\frac{b}{a}$≤2，利用e=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$可得e的范围．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
∵双曲线与直线y=2x无交点，
∴$\frac{b}{a}$≤2，
即e=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$≤$\sqrt{5}$，
∵e＞1，
∴1＜e≤$\sqrt{5}$．
故答案为：（1，$\sqrt{5}$]．

点评 本题考查了双曲线的渐近线和离心率，直线与双曲线相交等问题，属于基础题．