Question

15．已知0＜α＜$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$＜β＜π且tan$\frac{α}{2}$=$\frac{1}{2}$，sin（α+β）=$\frac{5}{13}$
（1）分别求cosα与cosβ的值；
（2）求tan（α-β）的值．

Answer 1

分析 （1）同角三角函数的基本关系求得 cos$\frac{α}{2}$、sin$\frac{α}{2}$的值，利用二倍角公式求得cosα、sinα的值，再利用两角差余弦公式求得cosβ=cos[（α+β）-α]的值．
（2）由条件求得tanβ，tanα的值，再利用两角差的正切公式，求得tan（α-β）的值．

解答 解：（1）∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$＜β＜π且tan$\frac{α}{2}$=$\frac{sin\frac{α}{2}}{cos\frac{α}{2}}$=$\frac{1}{2}$，${sin}^{2}\frac{α}{2}$+${cos}^{2}\frac{α}{2}$=1，
∴cos$\frac{α}{2}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sin$\frac{α}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∴cosα=2${cos}^{2}\frac{α}{2}$-1=$\frac{3}{5}$，sinα=2sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{α}{2}$=$\frac{4}{5}$．
∵sin（α+β）=$\frac{5}{13}$，∴$\frac{π}{2}$＜α+β＜π，∴cos（α+β）=-$\frac{12}{13}$，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-$\frac{12}{13}×\frac{3}{5}$+$\frac{5}{13}×\frac{4}{5}$=-$\frac{16}{65}$．
（2）由cosβ=-$\frac{16}{65}$，$\frac{π}{2}$＜β＜π，可得sinβ=$\sqrt{{1-sin}^{2}β}$=$\frac{63}{65}$，tanβ=-$\frac{63}{16}$．
根据cosα=$\frac{3}{5}$、sinα=$\frac{4}{5}$，可得tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{4}{3}$，∴tan（α-β）=$\frac{tanα-tanβ}{1+tanαtanβ}$=$\frac{\frac{4}{3}+\frac{63}{16}}{1+\frac{4}{3}•（-\frac{63}{16}）}$=-$\frac{253}{204}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式、两角和差的三角公式的应用，属于基础题．