Question

20．设函数f（x）=|x+2|+a|x-3|
（Ⅰ）当a=1时，求函数y=f（x）的最小值，并指出取得最小值时x的值；
（Ⅱ）若a≥1，讨论关于x的方程f（x）=a的解的个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用绝对值不等式的性质，即可得到最小值和相应x的范围；
（Ⅱ）$a=\frac{{|{x+2}|}}{{1-|{x-3}|}}$，设g（x）=$\frac{{|{x+2}|}}{{1-|{x-3}|}}$，运用分段函数的形式求出g（x），并求得各段的值域，对a讨论，即可得到解的个数．

解答 解：（Ⅰ）∵|x+2|+|x-3|≥|（x-2）-（x-3）|=5，
∴f（x）_min=5，
当且仅当（x+2）（x-3）≤0，即有-2≤x≤3时f（x）取最小值；
（Ⅱ）$a=\frac{{|{x+2}|}}{{1-|{x-3}|}}$，设g（x）=$\frac{{|{x+2}|}}{{1-|{x-3}|}}$，
则g（x）=$\left\{\begin{array}{l}-\frac{x+2}{x-2}，x≤-2\\ \frac{x+2}{x-2}，-2＜x≤3\\ \frac{x+2}{4-x}，x＞3\end{array}\right.$，可知，
当x≤-2时，g（x）=-1-$\frac{4}{x-2}$递增，有g（x）≤0；
当-2＜x≤3时，g（x）=1+$\frac{4}{x-2}$，有g（x）≤0或g（x）≥5；
当x＞3时，g（x）=-1-$\frac{6}{x-4}$，有g（x）＞5或g（x）＜-1．
故当a＞5时，原方程有2个解；
当a=5时，原方程有1个解；
当1≤a＜5时，原方程有0个解．

点评 本题考查函数的最值的求法和绝对值不等式的性质的运用，考查函数方程的转化思想的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．