Question

11．已知（log_ab）²+${2}^{lo{g}_{b}a}$=$\frac{17}{4}$，且a＞b＞1，能否确定a^-a和b^-2b的大小关系？若能，比较其大小；若不能，说明理由．

Answer 1

分析 设x=log_ba，得到f（x）=${2}^{x}+\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{17}{4}$，f（2）=0，利用导数性质求出f（x）在定义域内是单调递增函数，且f（2）=0，从而得到$lo{g}_{b}a=2，a={{b}^{2}}_{\;}$，由此能确定a^-a和b^-2b的大小关系．

解答 解：设x=log_ba，由a＞b＞1，得x＞1，
∵（log_ab）²+${2}^{lo{g}_{b}a}$=$\frac{17}{4}$，且a＞b＞1，
∴$\frac{1}{{x}^{2}}+{2}^{x}=\frac{17}{4}$，
令f（x）=${2}^{x}+\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{17}{4}$，则f（2）=0，
∴$lo{g}_{b}a=2，a={{b}^{2}}_{\;}$，
${a}^{-a}=（{b}^{2}）^{-{b}^{2}}={b}^{-2{b}^{2}}$，
∵b＞1，∴-2b²＜-2b，
∴a^-a＜b^-2b．

点评 本题考查两个数的大小的比较，是中档题，解题时要认真审题，注意换元法、构造法和导数性质的合理运用．