Question

1．如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC=BC=2，∠ACB=90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AD与GF所成的角的余弦值．

解答 解：如图，以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CD为z轴，建立空间直角坐标系，
由已知得A（0，2，0），D（0，0，2），G（1，0，0），F（0，2，1），
$\overrightarrow{AD}$=（0，-2，2），$\overrightarrow{GF}$=（-1，2，1），
设AD与GF所成的角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{GF}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{GF}}{|\overrightarrow{AD}|•|\overrightarrow{GF}|}$|=|$\frac{0-4+2}{\sqrt{8}•\sqrt{6}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．