Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$=（m，-1），$\overrightarrow{b}$=（sinx，cosx），f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$且满足f（$\frac{π}{2}$）=1．
（1）求函数y=f（x）的最大值及其对应的x值；
（2）若f（α）=$\frac{1}{5}$，求$\frac{sin2α-2si{n}^{2}α}{1-tanα}$的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两个向量的数量积公式，求得m=1，再根据正弦函数的值域求得函数的最大值以及其对应的x值．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin2α=$\frac{24}{25}$．再利用同角三角函数的基本关系化简要求的式子为sin2α，可得结果．

解答 解：（1）∵f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=msinx-cosx，且满足f（$\frac{π}{2}$）=1，∴$msin\frac{π}{2}-cos\frac{π}{2}=1$，即m=1，
则f（x）=sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），
当x-$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即x=2kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈Z时，f（x）_max=$\sqrt{2}$．
（2）f（α）=$\frac{1}{5}$，即sinα-cosα=$\frac{1}{5}$，两边平方得：1-sin2α=$\frac{1}{25}$，所以sin2α=$\frac{24}{25}$．
故 $\frac{sin2α-2si{n}^{2}α}{1-tanα}$=$\frac{2sinαcosα-{2sin}^{2}α}{\frac{cosα-sinα}{cosα}}$=2sinαcosα=sin2α=$\frac{24}{25}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，正弦函数的值域，同角三角函数的基本关系，属于基础题．