Question

13．已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（$\frac{π}{4}$+θ）=2$\sqrt{2}$
（1）将曲线C上各点的纵坐标伸长为原来的两倍，得到曲线C₁，写出曲线C₁的极坐标方程．
（2）射线θ=$\frac{π}{6}$与C₁、l的交点分别为A、B，射线θ=-$\frac{π}{6}$与C₁、l的交点分别为A₁、B₁，求△OAA₁与△OBB₁的面积之比．

Answer 1

分析 （1）曲线C的参数方程中用$\frac{y}{2}$代y，可得曲线C₁的参数方程，化为普通方程和极坐标方程即可得到；
（2）由极坐标表示点A、A₁和B、B₁，运用三角形的面积公式计算△OAA₁与△OBB₁的面积，即可得到它们的比．

解答 解：（1）在曲线C的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）中用$\frac{y}{2}$代y，
得到曲线C₁的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
化为普通方程为x²+y²=4，
故曲线C₁的极坐标方程ρ=2；
（2）依题意知点A、A₁的极坐标分别为（2，$\frac{π}{6}$），（2，-$\frac{π}{6}$），
设B、B₁的极坐标分别为（ρ₁，$\frac{π}{6}$），（ρ₂，-$\frac{π}{6}$），
则ρ₁ρ₂=$\frac{2\sqrt{2}}{sin（\frac{π}{4}+\frac{π}{6}）}$•$\frac{2\sqrt{2}}{sin（\frac{π}{4}-\frac{π}{6}）}$=$\frac{8}{sin\frac{5π}{12}sin\frac{π}{12}}$=$\frac{16}{sin\frac{π}{6}}$=32，
所以${S}_{△OA{A}_{1}}$=2sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
${S}_{△OB{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}$ρ₁ρ₂sin$\frac{π}{3}$=16×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=8$\sqrt{3}$，
故$\frac{{S}_{△OA{A}_{1}}}{{S}_{△OB{B}_{1}}}$=$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查直角坐标和极坐标的转化和参数方程与极坐标方程的转化，考查运算能力，属于中档题．