Question

2．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求椭圆的方程．
（2）已知定点E（-1，0），是否存在k的值，使得直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．且EC⊥ED，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）直线AB方程为bx-ay-ab=0，依题意列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆的方程．
（2）联立方程组，得（1+3k²）x²+12kx+9=0，由此利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积，能求出实数k的值．

解答 解：（1）直线AB方程为bx-ay-ab=0，
依题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
解得：a²=3，b=1，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1．
（2）联立 $\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{3}{+y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+3k²）x²+12kx+9=0，
∴△=（12k）²-36（1+3k²）＞0…①，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{12k}{1+{3k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{9}{1+{3k}^{2}}$，…②
而y₁•y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k₂x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，
∵CE⊥DE，
则y₁x₁+y₂x₂+1=-1，即y₁y₂+（x₁+1）（x₂+1）=0，
∴（k₂+1）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₁）+5=0…③
将②代入③整理得k=$\frac{7}{6}$，
经验证k=$\frac{7}{6}$使得①成立，
综上可知，k=$\frac{7}{6}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、根的判别式、向量的数量积、椭圆性质的合理运用．