Question

11．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²+alnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=-1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x＞1时，f（x）＞lnx恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出其导函数，让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可；
（Ⅱ）问题转化为a-1＞${（\frac{-{\frac{1}{2}x}^{2}}{lnx}）}_{max}$令g（x）=$\frac{-{\frac{1}{2}x}^{2}}{lnx}$，求出其导函数，利用导函数研究出其极大值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-lnx，
f′（x）=x-$\frac{1}{x}$，
令f′（x）＞0，解得x＞1，
所以f（x）的单调增区间为（1，+∞）；
令f′（x）＜0，解得0＜x＜1，
所以f（x）的单调减区间为（0，1）．
（Ⅱ）依题意f（x）-lnx＞0，即$\frac{1}{2}$x²+alnx-lnx＞0，
所以（a-1）lnx＞-$\frac{1}{2}$x²，
∵x＞1，∴lnx＞0，
∴a-1＞$\frac{-{\frac{1}{2}x}^{2}}{lnx}$，∴a-1＞${（\frac{-{\frac{1}{2}x}^{2}}{lnx}）}_{max}$
令g（x）=$\frac{-{\frac{1}{2}x}^{2}}{lnx}$，则g′（x）=$\frac{-xlnx+\frac{1}{2}x}{{（lnx）}^{2}}$，
令g′（x）=0，得x=$\sqrt{e}$，
则x，g′（x），g（x）的变化如下：

x	（1，$\sqrt{e}$）	$\sqrt{e}$	（$\sqrt{e}$，+∞）
g′（x）	+	0	-
g（x）	↗	极大值-e	↘

∴g（x）_max=-e，∴a-1＞-e，即a＞1-e．

点评 本题第二问考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．