Question

6．（1）已知3x²+2y²≤6，求2x+y的最大值
（2）求不等式|x-1|+|x+2|＜5的解集．

Answer 1

分析 （1）令柯西不等式（a₁b₁+a₂b₂）²≤（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²）中的a₁=$\sqrt{3}$x，a₂=$\sqrt{2}$y，b₁=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，b₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$代入即可得出；
（2）由于|x-1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到1和-2对应点的距离之和，数轴上的2和-3到1和-2对应点的距离之和等于5，从而 得到不等式|x-1|+|x+2|＜5的解集．

解答 解：（1）由柯西不等式（a₁b₁+a₂b₂）²≤（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²），
得（2x+y）²≤（3x²+2y²）（$\frac{4}{3}$+$\frac{1}{2}$）≤6×$\frac{11}{6}$=11，
∴2x+y的最大值为$\sqrt{11}$；
（2）解：由于|x-1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到1和-2对应点的距离之和，
数轴上的2和-3到1和-2对应点的距离之和等于5，
故不等式|x-1|+|x+2|＜5的解集为（-3，2）．

点评 本题考查柯西不等式的运用，考查绝对值的意义，考查绝对值不等式的解法，属于中档题．