Question

函数f（x）=x³-3x．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）已知f（x）在[t，t+2]上是增函数，求t的取值范围；
（3）f（x）在[t，t+2]上最大值M与最小值m之差M-m为g（t），求g（t）的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f′（x）令其等于0求出驻点，分区间讨论函数的增减性求出函数极值即可；
（2）由图象f（x）在[t，t+2]上为增函数，即t+2≤-1或t≥1即可得到t的取值范围；
（3）令f（t+2）=f（t）求出t的值，用（2）中t的取值范围，和函数的驻点分6种情况求出函数的最大值与最小值相减得到g（t）的解析式，分别各段函数的最小值比较最小即可．
解答：解：（1）f'（x）=3x²-3，令f'（x）=0，x=±1，如图所示：

所以，f（x）_极大=f（-1）=2，f（x）_极小=f（1）=-2．
（2）f（x）在[t，t+2]上是增函数，必须有t+2≤-1或t≥1，
所以t的取值范围是（-∞，-3]∪[1，∞）．
（3）当t≤-3时，m=f（t），M=f（t+2），g（t）=M-m=6t²+12t+2，
令f（t+2）=f（t），6t²+12t+2=0，，
当时，m=f（t），M=2，g（t）=-t³+3t+2，
当时，m=f（t+2），M=2，g（t）=-t³+6t²-9t，
当，m=-2，M=f（t），g（t）=t³-3t+2，
当时，m=-2，M=f（t+2），g（t）=t³+6t²+9t+4，
当t＞1时，m=f（t），M=f（t+2），g（t）=6t²+12t+2．
∴
g（t）最小值为．
点评：考查学生利用导数求函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，利用导数求闭区间上函数最值的能力．