Question

（2013•宁波模拟）已知函数f（x）=x³+ax²-a²x+2，a∈R．
（1）若a＜0时，试求函数y=f（x）的单调递减区间；
（2）若a=0，且曲线y=f（x）在点A、B（A、B不重合）处切线的交点位于直线x=2上，证明：A、B 两点的横坐标之和小于4；
（3）如果对于一切x₁、x₂、x₃∈[0，1]，总存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）为三边长的三角形，试求正实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，令f'（x）＜0，结合a＜0，可得函数单调递减区间；
（2）设在点A（x₁，x₁³+2）、B（x₂，x₂³+2）处切线的交点位于直线x=2上一点P（2，t），求出切线方程，代入点P的坐标，两方程相减，借助于基本不等式，即可证得A、B 两点的横坐标之和小于4；
（3）先确定0＜a＜2，再求导函数，确定函数的单调性与最小值，进而可确定正实数a的取值范围．

解答：（1）解：f'（x）=3x²+2ax-a²=3（x+a）（x-

a

3

）
 令f'（x）＜0，∵a＜0，∴

a

3

＜x＜-a
∴函数单调递减区间[

a

3

，-a]；
（2）证明：当a=0时，f（x）=x³+2
设在点A（x₁，x₁³+2）、B（x₂，x₂³+2）处切线的交点位于直线x=2上一点P（2，t），
∵y′=3x²，∴在点A处的切线斜率为k=3x12
∴在A处的切线方程为y-（x₁³+2）=3x12（（x-x₁）
∵切线过点P，∴t-（x₁³+2）=3x12（（2-x₁）
∴2x13-6x12+(t-2)=0①
同理2x23-6x22+(t-2)=0②
①-②可得2(x13-x23)-6(x12-x22)=0
∵x₁≠x₂，∴(x1+x2)2-x1x2-3(x1+x2)=0
∵x₁≠x₂，∴x1x2＜(

x1+x2

2

)2
∴(x1+x2)2-(

x1+x2

2

)2-3(x1+x2)＜0
∴0＜x₁+x₂＜4
∴A、B 两点的横坐标之和小于4；
（3）解：由题设知，f（0）＜f（1）+f（1），即2＜2（-a²+a+3），∴-1＜a＜2
∵a＞0，∴0＜a＜2
∵f′(x)=3(x+a)(x-

a

3

)
∴x∈(0，

a

3

)时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈(

a

3

，1)时，f′（x）＞0，f（x）单调递增
∴当x=

a

3

时，f（x）有最小值f（

a

3

）=-

5

27

a3+2
∴f（

a

3

）=-

5

27

a3+2＞0①，f（0）＜2（-

5

27

a3+2）②，f（1）＜2（-

5

27

a3+2）③，
由①得a＜

3 3 2

3 5

；由②得a＜

3

3 5

，∵0＜a＜2，∴0＜a＜

3

3 5

不等式③化为

10

27

a3-a2+a-1＜0
令g（a）=

10

27

a3-a2+a-1，则g′（a）=

10

9

a2-2a+1＞0，∴g（a）为增函数
∵g（2）=-

1

27

＜0，∴当0＜a＜

3

3 5

时，g（a）＜0恒成立，即③成立
∴正实数a的取值范围为(0，

3

3 5

)．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查导数的几何意义，考查存在性问题的研究，正确求导是关键．