Question

【题目】已知椭圆：（）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线：与椭圆有且只有一个公共点.

（1）求椭圆的方程及点的坐标；

（2）设为坐标原点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点，且与直线交于点.证明：存在实数，使得，并求的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）证明见解析，.

【解析】

试题分析：（1）根据椭圆的短轴的端点与左右焦点构成等腰直角三角形，结合直线与椭圆只有一个交点，利用判别式等于零，即可求出椭圆的方程和点的坐标；（2）设出点的坐标，根据写出的参数方程，代入椭圆的方程中，整理得出方程，在根据参数的几何意义求出和，由求出的值.

试题解析：（1）设短轴一端点为，左、右焦点分别为，，其中，则；

由题意，为直角三角形，

∴，解得，

∴椭圆的方程为；

代人直线：，可得，

又直线与椭圆只有一个交点，则，解得，

∴椭圆的方程为；

由，解得，则，所以点的坐标为；

（2）由已知可设直线的方程为（）

由方程组可得，所以点的坐标为，.

设点的坐标为.

由方程组可得 ②

方程②的判别式为，由解得.

由②得，.

所以，

同理.

所以

故存在常数，使得.