Question

5．边长为整数，且面积等于周长的直角三角形一共有几个？

Answer 1

分析 设两条直角边为a，b，斜边为c，从而可得a²+b²=c²，$\frac{1}{2}$ab=a+b+c，从而化简可得（a-4）（b-4）=8，从而解得．

解答 解：设两条直角边为a，b，斜边为c，
则面积S=$\frac{1}{2}$ab，周长l=a+b+c，a²+b²=c²；
又∵2ab=（a+b）²-（a²+b²）=（a+b）²-c²=（a+b+c）（a+b-c）
∴$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{4}$（a+b+c）（a+b-c），
∵$\frac{1}{2}$ab=a+b+c，
∴（a+b+c）（a+b-c）/4=a+b+c
∴$\frac{1}{4}$（a+b-c）=1，
∴a+b-c=4，
∴a²+b²=c²=（a+b-4）²=a²+b²+16-8a-8b+2ab
∴16-8a-8b+2ab=0，
即ab-4a-4b+8=0，
即（a-4）（b-4）=8，
又∵边长为整数，
∴a-4=1，2，4，8，-1，-2，-4，-8
∴a=5，6，8，12，0，2，0，-4
又∵a＞0，
∴a=5，6，8，12，2，
∴b=12，8，6，5，0，
又∵a，b，c都是整数，
∴有两种直角三角形，
分别是6，8，10和5，12，13；
故边长为整数，且面积等于周长的直角三角形一共有2个．

点评 本题考查了直角三角形的性质与完全平方式的应用，属于基础题．