Question

已知函数f（x）=|x-a|（a＞0），且不等式f（x）≥|x+1|的解集为{x|x≤

1

2

}．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）+|2x+1|，若不等式|2m+n|+|m-n|≥|m|•g（x）对任意m，n∈R且m≠0恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）化简不等式为绝对值不等式利用数轴推出结果即可．
（Ⅱ）转化不等式，利用绝对值三角不等式，求出表达式的最小值，通过恒成立求出x的范围即可．

解答： 解：（Ⅰ）由不等式f（x）≥|x+1|可得|x-a|≥|x+1|，
∵a＞0，由数轴可知∴解得x≤

a-1

2

，
∵不等式f（x）≥|x+1|的解集为{x|x≤

1

2

}．
∴

1

2

=

a-1

2

，得a=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=|x-2|+|2x+1|，
又不等式|2m+n|+|m-n|≥|m|•g（x）
∴

|2m+n|+|m-n|

|m|

≥g(x)，
而

|2m+n|+|m-n|

|m|

≥

|2m+n+m-n|

|m|

=3，
∴g（x）≤3恒成立，
即|x-2|+|2x+1|≤3，
解得x的取值范围：{x|-

2

3

≤x≤0}．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，函数恒成立问题的应用，考查转化思想以及计算能力．