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已知定义在实数集R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且当x∈(0,1)时,f(x)=
2x4x+1

(1)证明f(x)在(0,1)上为减函数;
(2)求函数f(x)在[-1,1]上的解析式;
(3)当λ取何值时,方程f(x)=λ在R上有实数解.
分析:(1)利用函数单调性的定义证明.(2)利用函数的周期性和奇偶性求对应的解析式.(3)利用函数的性质求函数f(x)的值域即可.
解答:解:(1)证明:设x1x2∈(0,1)且x1
x
 
2
 则

f(x1) -f(x2)=
2x1
4x1+1
-
2x2
4x2+1
=
2x1(4x2+1) -2x2(4x1+1)
(4x1+1)(4x2+1)
=
(2x2 -2x1)(2x1+x2-1) 
(4x1+1)(4x2+1)
…(3分)
0<x1
x
 
2
<1
,∴2x22x1 ,2x1+x2>1
∴f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(0,1)上为减函数.…(4分)
(2)若x∈(-1,0),
∴-x∈(0,1),
f(-x)=
2-x
4-x+1

又∵f(x)为奇函数,
f(-x)=
2-x
4-x+1
=-f(x)

f(x)=-
2-x
4-x+1
…(6分)
又∵f(-1)=f(1),且f(-1)=-f(1),
∴f(1)=f(-1)=0
∴f(x)=
2x
4x+1
,x∈(0,1)
0, x=0或x=±1
-
2x
4x+1
,x∈(-1,0)
…(8分)
(3)若x∈(0,1),
f(x)=
2x
4x+1
=
1
2x+
1
2x

又∵2x+
1
2x
∈(2,
5
2
)

f(x)∈(
2
5
1
2
)
,…(10分)

若x∈(-1,0),
f(x)=-
2x
4x+1
=-
1
2x+
1
2x

f(x)∈(-
1
2
,-
2
5
)

∴λ的取值范围是{λ|λ=0,或-
1
2
<λ<-
2
5
,或
2
5
<λ<
1
2
}
.…12 分
点评:本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用和证明,要求熟练掌握函数性质的综合应用.
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(1)求f(0),f(-4)的值; 
(2)判断函数f(x)的单调性,并求出不等式f(-4x2)f(10x)≥
116
的解集.

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