Question

对于函数f(x)=a-

2

bx+1

 （a∈R，b＞0且b≠1）
（1）判断函数的单调性并证明；
（2）是否存在实数a使函数f （x）为奇函数？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据单调性的定义证明，步骤：①取值 ②作差 ③化简 ④判号 ⑤下结论；
（2）先用特值法f（0）=0求出a，再检验．

解答：解：（1）函数f （x）的定义域是R，
当b＞1时，函数f （x）在R上单调递增；当0＜b＜1时，函数f （x）在R上是单调递减．
证明：任取R上两x₁，x₂，且x₁＜x₂，
f （x₁）-f （x₂）=a-

2

bx1+1

-（ a-

2

bx2+1

）=

2

bx2+1

-

2

bx1+1

=

2(bx1-bx2)

(bx1+1)•(bx2+1)

当b＞1时，∵x₁＜x₂∴bx1＜bx2∴bx1-bx2＜0
得f （x₁）-f （x₂）＜0   
所以f （x₁）＜f （x₂）
故此时函数f （x）在R上是单调增函数；
当0＜b＜1时，∵x₁＜x₂∴bx1＞bx2∴bx1-bx2＞0
得f （x₁）-f （x₂）＞0         
所以f （x₁）＞f （x₂）
故此时函数f （x）在R上是单调减函数．
（2）f （x）的定义域是R，
由f（0）=0，求得a=1．
当a=1时，f(-x)=1-

2

b-x+1

=

b-x-1

b-x+1

=

1-bx

1+bx

，f(x)=1-

2

bx+1

=

bx-1

bx+1

满足条件f（-x）=-f（x），
故a=1时函数f （x）为奇函数．

点评：（1）单调性的判断中注意分类讨论；（2）注意奇偶性中结论的利用．