Question

（2009•山东模拟）对于函数f(x)=a-

2

2x+1

(a∈R)．
（1）用函数单调性的定义证明f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？

Answer 1

分析：（1）任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，判断f（x₁）-f（x₂）的符号，进而根据函数单调性的定义，可得结论；
（2）根据奇函数的定义，令f（-x）+f（x）=0，根据指数的运算性质，可求出a值．

解答：证明：任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
则2x1＜2x2，2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）=（a-

2

2x1+1

）-（a-

2

2x2+1

）=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）若函数f(x)=a-

2

2x+1

为奇函数
则f（-x）+f（x）=a-

2

2-x+1

+a-

2

2x+1

=a-

2•2x

2x+1

+a-

2

2x+1

=2a-

2•(2x+1)

2x+1

=2a-2=0
解得a=1
故存在实数a=1使函数f（x）为奇函数

点评：本题考查的知识点是函数的单调性和函数的奇偶性，熟练掌握函数单调性与奇偶性的定义是解答的关键．