Question

对于函数f(x)=a-

2

2x+1

(a∈R)：
（Ⅰ）　是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？
（Ⅱ）　探究函数f（x）的单调性（不用证明），并求出函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）因为f（x）的定义域为R，所以f（0）=0，代入函数解析式即可解得a的值，再利用奇函数的定义证明此时的函数为奇函数即可；
（II）先利用复合函数法判断函数f（x）的单调性，再利用复合函数法求此函数的值域即可

解答：解：（Ⅰ）假设存在实数a函数f(x)=a-

2

2x+1

是奇函数，因为f（x）的定义域为R，
所以f（0）=a-1=0，所以a=1
此时f(x)=1-

2

2x+1

=

2x-1

2x+1

，则f(-x)=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-f(x)，
所以f（x）为奇函数
即存在实数a=1使函数f（x）为奇函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=1-

2

2x+1

，因为2^x+1在R上递增，所以

2

2x+1

在R上递减，所以f(x)=1-

2

2x+1

在R上递增．
∵2^x+1＞1，
∴0＜

2

2x+1

＜2，
∴-1＜1-

2

2x+1

＜1，
即函数f（x）的值域为（-1，1）

点评：本题考查了奇函数的定义和性质，复合函数法判断函数的单调性和求函数的值域，分清复合函数的构成是解决本题的关键