Question

已知函数f（x）=2x²+ax-1，g（log₂x）=x²-．
（1）求函数g（x）的解析式，并写出当a=1时，不等式g（x）＜8的解集；
（2）若f（x）、g（x）同时满足下列两个条件：①?t∈[1，4]使f（-t²-3）=f（4t） ②?x∈（-∞，a]，g（x）＜8．
求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）令t=log₂t，则x=2^t，
∴g（t）=（2^t）²-=（2^t）²-，即g（x）=（2^x）²-．
当a=1时，不等式g（x）＜8，即（2^x）²-2•2^x-8＜0．
∴2^x＜4，解得x＜2．
∴不等式g（x）＜8的解集是{x|x＜2}．
（2）①由题意，-，即a=2（t²-4t+3）=2（t-2）²-2，
由t∈[1，4]，得a∈[-2，6]．
②由题意，在x∈（-∞，a]上恒成立．
即在x∈（-∞，a]上恒成立．
令μ=2^x，则μ∈（0，2^a]，∴．
∵函数在（0，2^a]上为增函数，
∴，
∴，解得，
∴a＜．
综合①②，符合条件的实数a的取值范围是{a|-2≤a≤}．
分析：（1）令t=log₂t，则x=2^t，故g（x）=（2^x）²-．由此能求出当a=1时，不等式g（x）＜8的解集．
（2）①由-，知a=2（t²-4t+3）=2（t-2）²-2，由t∈[1，4]，得a∈[-2，6]．②由在x∈（-∞，a]上恒成立，知在x∈（-∞，a]上恒成立．综合①②，能求出符合条件的实数a的取值范围．
点评：本题考查不等式的解法和实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．