Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC，E为PB的中点．
（1）求证：PD∥面AEC；
（2）求证：平面AEC⊥平面PDB．

Answer 1

解：（1）证明：设AC∩BD=O，连接EO，
因为O，E分别是BD，PB的中点
，所以PD∥EO…（4分）
而PD?面AEC，EO?面AEC，
所以PD∥面AEC…（7分）
（2）连接PO，因为PA=PC，
所以AC⊥PO，
又四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD…（10分）
而PO?面PBD，BD?面PBD，PO∩BD=O，
所以AC⊥面PBD…（13分）
又AC?面AEC，
所以面AEC⊥面PBD…（14分）
分析：（1）设AC∩BD=O，连接EO，证明PD∥EO，利用直线与平面平行的判定定理证明PD∥面AEC．
（2）连接PO，证明AC⊥PO，AC⊥BD，通过PO∩BD=O，证明AC⊥面PBD，然后证明面AEC⊥面PBD
点评：本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力．