【题目】已知函数.
(1)当时,求
的单调区间;
(2)设,
是曲线
图象上的两个相异的点,若直线
的斜率
恒成立,求实数
的取值范围.
(3)设函数有两个极值点
,
且
,若
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1) 的单调增区间为
,
;单调减区间为
;
(2);
(3).
【解析】
试题分析:(1)当时,
,分别解不等式
与
可得函数
的单调递增区间与递减区间;
(2)在
上单调递增,由
在
恒成立,求
的范围即可;(3)由
是方程
可得
,
,用
表示
得
,令
,则
,构造函数
(
),求
的导数,研究其单调性得
在
上单减,∴
,可求得
.
试题解析: (1) ,
令,∴
或
,∴
的单调增区间为
,
;单调减区间为
.
(2) 即
,所以
,令
,∴
在
上单调递增,∴
,∴
对
恒成立,∴
,∴
对
恒成立,又∵
,当
时取等号,∴
,故
.
(3),因为函数
有两个极值点
,所以
是方程
的两个根,即,所以
是方程
的两个根,
所以有,
,
∴
令,则
,设
(
),
∴,
∴在
上单减,∴
,故
.
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【题目】下列4个命题:
①为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见,打算从中抽取一个容量为40的样本,考虑用系统抽样,则分段的间隔为40;
②四边形为长方形,
,
,
为
中点,在长方形
内随机取一点
,取得的
点到
的距离大于1的概率为
;
③把函数的图象向右平移
个单位,可得到
的图象;
④已知回归直线的斜率的估计值为,样本点的中心为
,则回归直线方程为
.
其中正确的命题有__________.(填上所有正确命题的编号)
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【题目】已知函数.
(1)若函数在
上是增函数,求实数
的取值范围;
(2)求所有的实数,使得对任意
时,函数
的图象恒在函数
图象的下方;
(3)若存在,使得关于
的方程
有三个不相等的实数根,求实数
的取值范围.
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【题目】如图,已知椭圆的长轴长是短轴长的
倍,右焦点为
,点
分别是该椭圆的上、下顶点,点
是直线
上的一个动点(与
轴交点除外),直线
交椭圆于另一点
,记直线
,
的斜率分别为
(1)当直线过点
时,求
的值;
(2)求的最小值.
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【题目】如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.
(Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合与
的关系,请用相关系数加以说明;
(Ⅱ)建立关于
的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
参考数据: ,
,
,
.
参考公式:相关系数,
回归方程,
,
本题中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: ,
.
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【题目】如图1在△
中,
,
、
分别为线段
、
的中点,
,
.以
为折痕,将
△
折起到图2的位置,使平面
⊥平面
,连接
,
,设
是线段
上的动点,满足
.
(1)证明:平面⊥平面
;
(2)若二面角的大小为
,求
的值.
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【题目】已知直线的方程为
,点
是抛物线
上到直线
距离最小的点,点
是抛物线上异于点
的点,直线
与直线
交于点
,过点
与
轴平行的直线与抛物线
交于点
.
(Ⅰ)求点的坐标;
(Ⅱ)证明直线恒过定点,并求这个定点的坐标.
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