Question

16．在△ABC中，∠B=$\frac{π}{3}$，b=$\sqrt{3}$．求a+2c的范围．

Answer 1

分析 由条件利用正弦定理可得2c+a=4sinC+2sinA=2$\sqrt{7}$sin（A+θ），（θ为锐角，且tanθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$），结合θ＜A+θ＜$\frac{2π}{3}$+θ，以及正弦函数的值域，求得a+2c的取值范围．

解答 解：△ABC中，∠B=$\frac{π}{3}$，b=$\sqrt{3}$，
设三角形外接圆的直径为2r，
则由正弦定理可得2r=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，
a+2c=4sinC+2sinA=2[2sin（$\frac{2π}{3}$-A）+sinA]
=2（$\sqrt{3}$cosA+2sinA）=2$\sqrt{7}$sin（A+θ），（θ为锐角，且tanθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
由0＜A＜$\frac{2π}{3}$，θ＜A+θ＜$\frac{2π}{3}$+θ，当A+θ=$\frac{π}{2}$时，sin（A+θ）=1，
sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，sin（$\frac{2π}{3}$+θ）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ-$\frac{1}{2}$sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{2}{\sqrt{7}}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$，
即有2$\sqrt{7}$sin（A+θ）∈（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{7}$]．
则a+2c的范围是（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{7}$]．

点评 本题主要考查正弦定理的应用以及辅助角公式的应用．解决这类问题的关键在于对公式的熟练掌握以及灵活运用，属于中档题．