Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn ， 已知2Sn=3n+1+2n﹣3．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{nan}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵2Sn=3n+1+2n﹣3，

∴当n≥2时，2an=2Sn﹣2Sn﹣1=（3n+1+2n﹣3）﹣[3n+2（n﹣1）﹣3]=23n+2，

∴an=3n+1，

又a1=S1= （32+2×1﹣3）=4，适合上式，

∴an=3n+1；

（2）解：由（1）知an=3n+1，则nan=n3n+n，

∵数列{nan}的前n项和Tn，

则Tn=131+232+…+n3n+（1+2+3+…+n），

令An=131+232+…+n3n，①

则3An=132+233+…+（n﹣1）3n+n3n+1，②

①﹣②得：﹣2An=31+32+…+3n﹣n3n+1

= ﹣n3n+1=（ ）3n+1﹣ ，

∴An= 3n+1+ ．

∴Tn= 3n+1+ +

【解析】（1）由Sn=3n+1+2n﹣3，可得当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=3n+1，再检验当n=1时，a1是否适合上式，即可求得数列{an}的通项公式；（2）依题意，nan=n3n+n，Tn=131+232+…+n3n+（1+2+3+…+n），令An=131+232+…+n3n ， 利用错位相减法可求得An= 3n+1+ ，而1+2+3+…+n= ，从而可得数列{nan}的前n项和Tn ．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．