Question

8．已知数列{a_n}满足：a₁=1，（n+2）a_n=（n-1）a_n-1+1，试求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 由已知得（n+2）（n+1）na_n=（n-1）（n+1）na_n-1+（n+1）n，令c_n=（n+2）（n+1）na_n，得c_n-c_n-1=（n+1）n，n≥2，且n∈N^*，由此能推导出c_n=4+$\frac{1}{3}n（n+1）（n+2）$，从而能求出数列{a_n}的通项公式．

解答 解：令n=2，得4a₂=a₁+1，${a}_{2}=\frac{1}{2}$，
（n+2）a_n=（n-1）a_n-1+1，
∴（n+2）（n+1）a_n=（n-1）（n+1）a_n-1+n+1，
∴（n+2）（n+1）na_n=（n-1）（n+1）na_n-1+（n+1）n，
令c_n=（n+2）（n+1）na_n，
则有c_n=c_n-1+（n+1）n，
∴c_n-c_n-1=（n+1）n，n≥2，且n∈N^*，
∴c_n=c₂+（c₃-c₂）+（c₄-c₃）+…+（c_n-c_n-1）
=c₂+4×3+5×4+…+（n+1）n
=4×3×2×a₂+4×3+5×4+…+（n+1）n，
先求4×3+5×4+…+（n+1）n，
由n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）=n（n+1）[n+2-（n-1）]=n（n+1）×3，知：
n（n+1）=$\frac{1}{3}$[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，
∴4×3+5×4+…+（n+1）n
=$\frac{1}{3}$[5×4×3-2×3×4+4×5×6-5×4×3+…+n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]
=$\frac{1}{3}[n（n+1）（n+2）-2×3×4]$
=$\frac{1}{3}n（n+1）（n+2）-8$，
∴${c}_{n}=4×3×2×{a}_{2}+\frac{1}{3}n（n+1）（n+2）-8$
=24×$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}n（n+1）（n+2）-8$
=4+$\frac{1}{3}n（n+1）（n+2）$，
∴（n+2）（n+1）na_n=4+$\frac{1}{2}n（n+1）（n+2）$，
∴（n+2）（n+1）na_n=4+$\frac{1}{2}n（n+1）（n+2）$，
${a}_{n}=\frac{4}{（n+2）（n+1）n}+\frac{1}{3}$，
当n=1，${a}_{1}=\frac{4}{3×2×1}+\frac{1}{3}=1$，符合题意，
综上，${a}_{n}=\frac{4}{（n+2）（n+1）n}+\frac{1}{3}$，n∈N^*．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，综合性强，难度大，对数学思维能力的要求较高，解题时要认真审题，注意构造法、累加法、分组法的合理运用．