Question

18．已知x、y∈R⁺，求证：$\sqrt{（1+x）（1+y）}$≥1+$\sqrt{xy}$．

Answer 1

分析 分析使不等式$\sqrt{（1+x）（1+y）}$≥1+$\sqrt{xy}$成立的充分条件，一直分析到使不等式成立的充分条件显然具备，从而不等式得证．

解答 证明：由题意要证明$\sqrt{（1+x）（1+y）}$≥1+$\sqrt{xy}$，x、y∈R⁺，
即证明：1+xy+x+y≥xy+2$\sqrt{xy}$+1，
只要证明：x+y≥$2\sqrt{xy}$，
即$\frac{x+y}{2}$$≥\sqrt{xy}$，
这是基本不等式，显然成立，
所以$\sqrt{（1+x）（1+y）}$≥1+$\sqrt{xy}$．

点评 用分析法证明不等式，关键是寻找使不等式成立的充分条件．