Question

已知函数（均为正常数），设函数在处有极值.

（1）若对任意的，不等式总成立，求实数的取值范围；

（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的应用、不等式、三角函数等基础知识，考查思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力，考查函数思想、转化思想等数学思想方法.第一问，对求导，因为在有极值，所以是的根，列出表达式，求出，不等式恒成立等价于恒成立，所以下面的主要任务是求的最大值，对求导，利用三角公式化简，求的最值，判断的正负，从而判断的单调性，求出最大值；第二问，由单调递增，所以解出的取值范围，由已知在上单调递增，所以得出，利用子集关系列出不等式组，解出.

试题解析：∵，∴，

由题意，得，，解得.     2分

（1）不等式等价于对于一切恒成立.      4分

记

     5分

∵，∴，∴，∴，

∴，从而在上是减函数.

∴，于是，故的取值范围是.     6分

（2），由，得，即

.     7分

∵函数在区间上单调递增，

∴，

则有，，     9分

即，，

∴只有时，适合题意，故的取值范围为.     12分

考点：1.导数的运算；2.两角和的正弦公式；3.三角函数的最值；4.恒成立问题；5.利用导数判断函数的单调性.