Question

已知函数f（x）=asinx-x+b（a、b均为正常数）．
（1）证明函数f（x）在（0，a+b]内至少有一个零点；
（2）设函数f（x）在x=

π

3

处有极值，对于一切x∈[0，

π

2

]，不等式f（x）＞sinx+cosx总成立，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）=asinx-x+b在（0，a+b]内至少有一个零点，代入f（0）和f（a+b）利用零点定理进行求解；
（2）对f（x）进行求导，利用函数f（x）在x=

π

3

处有极值，可得f′（

π

3

）=0，求出a的值，将问题转化为b＞x+cosx-sinx对一切x∈[0，

π

2

]恒成立，利用常数分离法进行求解；

解答：解：（1）∵f（0）=b＞0…（2分）
f（a+b）=asin（a+b）-（a+b）+b=a[sin（a+b）-1]≤0…（4分）
∴函数f（x）在（0，a+b]内至少有一个零点…（6分）
（2）∵f（x）=asinx-x+b，∴f'（x）=acosx-1…（7分）
由题意得f′(

π

3

)=0，即acos

π

3

-1=0⇒a=2…（8分）
问题等价于b＞x+cosx-sinx对一切x∈[0，

π

2

]恒成立…（9分）
记g（x）=x+cosx-sinx，
则g′(x)=1-sinx-cosx=1-

2

sin(x+

π

4

)…（10分）
∵0≤x≤

π

2

⇒

π

4

≤x+

π

4

≤

3π

4

…（11分）
∴

2

2

≤sin(x+

π

4

)≤1
即1≤

2

sin(x+

π

4

)≤

2

∴g'（x）≤0，即g（x）在[0，

π

2

]上是减函数…（12分）
∴g（x）_max=g（0）=1，于是b＞1，故b的取值范围是（1，+∞）…（13分）

点评：此题主要考查函数的零点定理以及函数的恒成立问题，利用导数研究函数的最值和极值问题，是一道基础题；