Question

已知函数f（x）=asinx-x+b（a，b均为正常数）．
（1）若a=2，求函数f（x）在区间[0，π]上的单调减区间；
（2）设函数在x=

π

3

处有极值．
①对于一切x∈[0，

π

2

]，不等式f(x)＞

2

sin(x+

π

4

)恒成立，求b的取值范围；
②若函数f（x）在区间(

m-1

3

π，  

2m-1

3

π)上是单调增函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）a=2时，函数f（x）=2sinx-x+b，求导函数可得：f′（x）=2cosx-1，令f′（x）＜0，结合x∈[0，π]，可得函数的单调减区间；
（2）f′（x）=acosx-1，利用函数在x=

π

3

处有极值，可得f（x）=2sinx-x+b
①不等式f(x)＞

2

sin(x+

π

4

)可化为：sinx-cosx-x＞-b，构造函数g（x）=sinx-cosx-x，x∈[0，  

π

2

]，求出函数的最小值，即可求得b的取值范围；
②由(

m-1

3

π，  

2m-1

3

π)得：

2m-1

3

π＞

m-1

3

π，所以m＞0，求出的单调增区间，利用函数f（x）在区间(

m-1

3

π，  

2m-1

3

π)上是单调增函数，即可求得m的取值范围．

解答：解：（1）a=2时，函数f（x）=2sinx-x+b，求导函数可得：f′（x）=2cosx-1
令f′（x）＜0，可得cosx＜

1

2

∵x∈[0，π]，∴

π

3

＜x＜π
∴函数的单调减区间为(

π

3

，π)
（2）f′（x）=acosx-1，由已知得：f′(

π

3

)=0，所以a=2，所以f（x）=2sinx-x+b
①不等式f(x)＞

2

sin(x+

π

4

)可化为：sinx-cosx-x＞-b
记函数g（x）=sinx-cosx-x，x∈[0，  

π

2

]
g′(x)=cosx+sinx-1=

2

sin(x+

π

4

)-1x∈[0，  

π

2

]，所以x+

π

4

∈[

π

4

， 

3π

4

]，g′（x）＞0
函数在x∈[0，  

π

2

]上是增函数，最小值为g（0）=-1
所以b＞1，
所以b的取值范围是（1，+∞）
②由(

m-1

3

π，  

2m-1

3

π)得：

2m-1

3

π＞

m-1

3

π，所以m＞0
令f′（x）=2cosx-1＞0，可得2kπ-

π

3

＜x＜2kπ+

π

3

，k∈Z
∵函数f（x）在区间(

m-1

3

π，  

2m-1

3

π)上是单调增函数，
∴

m-1

3

π≥2kπ-

π

3

且

2m-1

3

π≤2kπ+

π

3

∴6k≤m≤3k+1
∵m＞0，∴3k+1＞0，6k≤3k+1
∴k=0
∴0＜m≤1

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值、单调区间，考查分离参数法求解恒成立问题，正确运用导数是关键．