Question

如图所示，在四面体P－ABC中，已知PA＝BC＝6，PC＝AB＝10，AC＝8，PB＝．F是线段PB上一点，CF＝，点E在线段AB上，且EF⊥PB．

(1)证明：PB⊥平面CEF；

(2)求二面角B－CE－F的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵PA2＋AC2＝36＋64＝100＝PC2， 　　∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，同理可证，△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形， 　　故PA⊥平面ABC． 　　又∵S△PBC＝|PC||BC|＝×10×6＝30． 　　而|PB||CF|＝＝30＝S△PBC， 　　故CF⊥PB，又已知EF⊥PB， 　　∴PB⊥平面CEF． 　　(2)由(1)知PB⊥CE，PA⊥平面ABC， 　　又∵PA⊥平面ABC 　　∴PA⊥CE 　　∵PB⊥平面CEF 　　∴PB⊥CE 　　∴CE⊥平面PAB 　　∴CE⊥AB 　　在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1⊥平面ABC， 　　∴FF1⊥CE 　　又∵CE⊥EF1 　　∴CE⊥平面EFF1 　　∴CE⊥EF 　　故∠FEB是二面角B－CE－F的平面角． 　　tanFEB＝cotPBA＝， 　　二面角B－CE－F的大小为arctan．