Question

2．设函数y=g（x）在（-∞，+∞）内有定义，对于给定的整数k，定义函数：g_k（x）=$\left\{\begin{array}{l}{g（x）（g（x）≤k）}\\{k（g（x）＞k）}\end{array}\right.$，取函数g（x）=2-ex-e^-x，若对任意x∈（-∞，+∞）恒有g_k（x）=g（x），则（　　）

• A． k的最大值为2-e-$\frac{1}{e}$
• B． k的最小值为2-e-$\frac{1}{e}$
• C． k的最大值为2
• D． k的最小值为2

Answer 1

分析 由题意知g（x）≤k在（-∞，+∞）上恒成立，从而化为函数的最值问题．

解答 解：∵对任意x∈（-∞，+∞）恒有g_k（x）=g（x），
∴g（x）≤k在（-∞，+∞）上恒成立，
∵g（x）=2-ex-e^-x，g′（x）=-e+e^-x，
∴当x∈（-∞，-1）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；
当x∈（-1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数；
故g_max（x）=g（-1）=2+e-e=2，
故k≥2；
故选D．

点评 本题考查了分段函数的应用及恒成立问题与最值问题的应用，属于中档题．