Question

12．设a＞0，b＞0，求证：lg（1+$\sqrt{ab}$）≤$\frac{1}{2}$[lg（1+a）+lg（1+b）]．

Answer 1

分析 利用不等式的性质可得$a+b≥2\sqrt{ab}$，进一步得到$1+a+b+ab≥1+2\sqrt{ab}+ab$，即$（1+a）（1+b）≥（1+\sqrt{ab}）^{2}$，两边取对数得答案．

解答 证明：∵a＞0，b＞0，
∴$a+b≥2\sqrt{ab}$，则$1+a+b+ab≥1+2\sqrt{ab}+ab$，
即$（1+a）（1+b）≥（1+\sqrt{ab}）^{2}$，
∴lg[（1+a）（1+b）]$≥lg（1+\sqrt{ab}）^{2}$，
∴$\frac{1}{2}[lg（1+a）+lg（1+b）]≥lg（1+\sqrt{ab}）$，
即lg（1+$\sqrt{ab}$）≤$\frac{1}{2}$[lg（1+a）+lg（1+b）]．

点评 本题考查对数的运算性质，考查了基本不等式的性质，是基础题．