Question

3．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，若{a_n}和{$\sqrt{{S}_{n}}$}都是等差数列，且公差相等，则S₁₀₀=（　　）

• A． 50
• B． 100
• C． 1500
• D． 2500

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}和{$\sqrt{{S}_{n}}$}的公差都为d，从而可得$\sqrt{{a}_{1}}$+d=$\sqrt{{a}_{1}+{a}_{1}+d}$，化简可得a₁+2$\sqrt{{a}_{1}}$d+d²=2a₁+d，再由a₁+4$\sqrt{{a}_{1}}$d+4d²=3a₁+3d，从而可得d（2d-1）=0，从而解得．

解答 解：设等差数列{a_n}和{$\sqrt{{S}_{n}}$}的公差都为d，
则$\sqrt{{S}_{2}}$=$\sqrt{{a}_{1}}$+d=$\sqrt{{a}_{1}+{a}_{1}+d}$，
两边平方可得，a₁+2$\sqrt{{a}_{1}}$d+d²=2a₁+d，
同理可得，a₁+4$\sqrt{{a}_{1}}$d+4d²=3a₁+3d，
联立消a₁可得：d（2d-1）=0，
故d=0或d=$\frac{1}{2}$，
故d=0时，a₁=0，故不成立；
当d=$\frac{1}{2}$时，a₁=$\frac{1}{4}$，成立；
故S₁₀₀=100a₁+$\frac{100×99}{2}$×d
=100（$\frac{1}{4}$+$\frac{99}{4}$）=2500，
故选：D．

点评 本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了方程的思想的应用，属于中档题．