Question

已知抛物线x²=4y,过点M(2，2)作动弦AB，过A，B两点分别作抛物线的切线，两切线交于点P．

(1)证明：点P的轨迹为直线l：x-y-2=0；

(2)过点M作直线的垂线Z：x-y-2=0的垂线，垂足为N，证明：∠ANM=∠BNM．

Answer 1

答案：(1)设A、B两点的坐标分别为A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

则y₁=，y₂=，

于是k_PA=，k_PB=．

由点斜式得两切线方程：

PA：2(y+y₁)=x₁x，PB：2(y+y₂)=x₂x，

解得点P坐标为().

由A、M、B三点共线知.

x₁x₂(x₂-x₁)+2(x₁+x₂)(x₁-x₂)+8(x₂-x₁)=0                                            ①

易知x₂-x₁≠0，

将①式两端同除以4(x₂-x₁)得+2=0，

故点P的轨迹为直线l：x-y-2=0．

(2)过点M所作垂线l₁的方程为y-2=-(x-2)，解得l与l₁的交点N(3，1)．

MN的斜率为-1，若AN，BN的斜率均存在，则分别设为k₁，k₂，

要证∠ANM=∠BNM，只需证，

即证k₁k₂=1

k₁k₂=                                    ②

设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y-2=

k(x-2)，代入x²=4y得

x²-4kx+8k-8=0，于是x₁+x₂=4k，x₁x₂=8k-8

y₁+y₂=k(x₁-2)+2+k(x₂-2)+2=4k²-4k+4，

y₁y₂==4k²-8k+4

代人②式得k₁k₂==1(1≠)

当k=时，解得A、B两点坐标分别为(-2，1)，(3，)，知直线AN与BN的斜率一个不存在，一个为零，亦有∠ANM=∠BNM．