Question

设A、B、C为三角形的三内角，且方程（sinB-sinA）x²+（sinA-sinC）x+（sinC-sinB）=0有等根，那么角B

 

．

Answer 1

分析：根据方程有两等根判定△=0，进而求出（sinA-sinC）²-4（sinB-sinA）（sinC-sinB）=0，依据正弦定理把角换成边，化简得a+c=2b，代入余弦定理得cosB=

3

2

•

b2

ac

-1，再根据a+c=2b两边平方，得出b²与ac的关系，进而推断出cosB的范围，求出B的范围．

解答：解：依题意△=（sinA-sinC）²-4（sinB-sinA）（sinC-sinB）=0
根据正弦定理得：（a-c）²-4（b-a）（c-b）=a²+c²-2ac-4（bc-b²-ac+ab）=（a²+c²+2ac）-4（ab+bc）+4b²
=（a+c）²-4b（a+c）+4b²=（a+c-2b）²=0
即a+c=2b
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

[(a+c)2-2ac-b2]

2ac

=

(3b2- 2ac)

2ac

=

3

2

•

b2

ac

-1
∵（2b）²=（a+c）²≥4ac，∴b²≥ac
∴

3

2

•

b2

ac

-1≥

3

2

-1=

1

2

又∵-1＜cosB＜1，
∴

1

2

≤cosB＜1
∴0＜B≤60°
故答案为B≤60°

点评：本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用，在解三角形问题中，常用这两个公式完成边角互化，故应重点掌握．