Question

【题目】一个半径为r的小球与一个半径为R的大球在一个内壁棱长为l的正四面体容器内向各个方向自由运动。若，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是_________。

Answer 1

【答案】

【解析】

设棱长为的正四面体的内切球半径为.易知，且该内切球在各面的切点到棱的距离为.

先考虑只有小球在正四面体容器中时，其不可能接触到的容器内壁面积小球在一个面上不能接触到的部分(如图阴影)面积为.

再考虑大小球均在正四面体容器中时的情形.

若两球均与正四面体的一个面相切，则切点之间的距离不小于.

当时，可将小球挤在正四面体的一个角内，让大球从正四面体的一角移到另一角;

当时，可将大球挤在正四面体的-个角内，让小球从正四面体的一角移到另一角.

结合知

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故大小球均能从正四面体一角移到另一角将大球挤在顶角内，则小球在底面中央不能接触到的圆形部分的面积为，其中，

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综上，所求面积为.

故答案为：