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【题目】求所有的实数组(a、b、c),使得对任何整数n,都有.其中,表示不超过实数x的最大整数.

【答案】见解析

【解析】

首先证明:“使对任何整数n,都有”等价于“a、b中至少有一个为整数,且c=a+b”.

一方面,若ab中至少有一个为整数,且c=a+b,则不妨设a为整数.那么,对任何整数nna为整数.所以,.

于是, .

另一方面,若对任何整数n,都有.则分别取n=1、-1,

两式相加得.

又对任何实数x,

于是,如果a、b都不是整数,则

,矛盾.

所以,a、b中至少有一个为整数.

不妨设a为整数,那么,对任何整数nna为整数,于是,.

则对任何整数n.

.

于是,.

综上,所求的实数组

其中,m、n为任意整数,t为任意实数.

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13

15

19

20

21

26

28

30

18

36

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