Question

（2012•安徽模拟）已知{a_n}是等比数列，公比q＞1，前n项和为Sn，且

S3

a 2

=

7

2

，a4=4，数列bn满足：

a

bn 2n+1

=2，n=1，2，…
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设数数{b_nb_n+1}的前n项和为T_n，求证

1

3

≤Tn＜

1

2

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（I）由

S3

a2

=

7

2

建立关于a₁和q的方程，可解出q=2．从而得到数列{a_n}的首项a₁=

1

2

，得{a_n}的通项公式为a_n=a₁q^n-1=2^n-2，由此结合题意和对数运算性质化简整理，可得b_n=

1

2n-1

；
（II）根据（I）的结论，得b_nb_n+1=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），代入T_n消元化简得T_n=

1

2

（1-

1

2n+1

），最后结合

1

2n+1

的取值范围，利用不等式的运算性质可证出不等式

1

3

≤Tn＜

1

2

(n∈N*)成立．

解答：解：（I）

S3

a2

=

a1+a1q+a1q2

a1q

=

1+q+q2

q

=

7

2

，
∴整理得2q²-5q+2=0，解之得q=2（舍

1

2

）
由此可得a₁=

a4

q3

=

1

2

，得数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁q^n-1=2^n-2，
∴a_2n+1=2^2n-1，结合a2n+1bn=2得b_n=log a2n+12=

1

2n-1

；
可得{b_n}的通项公式为b_n=

1

2n-1

；
（II）根据（I）的结论，得
b_nb_n+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
可得T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]=

1

2

（1-

1

2n+1

）
∵n∈N^*，∴0＜

1

2n+1

≤

1

3

，得

2

3

≤1-

1

2n+1

＜1
因此，T_n=

1

2

（1-

1

2n+1

）∈[

1

3

，

1

2

），
即不等式

1

3

≤Tn＜

1

2

(n∈N*)成立．

点评：本题给出等差、等比数列模型，求数列的通项并求讨论数列{b_nb_n+1}的前n和的取值范围，着重考查了等差数列的通项与前n项和、数列与不等式的综合等知识，属于中档题．