Question

1．已知数列{a_n}中，a₁=a，a_n+1=3a_n+8n+6，若{a_n）为递增数列，则实数a的取值范围为（-7，+∞）．

Answer 1

分析 a_n+1=3a_n+8n+6，a₁=a，可得：n=1时，a₂=3a+14．n≥2时，a_n=3a_n-1+8n-2，相减可得：a_n+1-a_n+4=3（a_n-a_n-1+4），a=-9时，可得a_n+1-a_n+4=0，数列{a_n}是单调递减数列，舍去．由数列{a_n+1-a_n+4}是等比数列，首项为2a+18，公比为3．利用“累加求和”方法可得a_n，根据{a_n）为递增数列，因此?n∈N^*，a_n+1＞a_n都成立．解出即可得出．

解答 解：∵a_n+1=3a_n+8n+6，a₁=a，
∴n=1时，a₂=3a₁+14=3a+14．
n≥2时，a_n=3a_n-1+8n-2，
相减可得：a_n+1-a_n=3a_n-3a_n-1+8，
变形为：a_n+1-a_n+4=3（a_n-a_n-1+4），
a=-9时，可得a_n+1-a_n+4=0，则a_n+1-a_n=-4，是单调递减数列，舍去．
∴数列{a_n+1-a_n+4}是等比数列，首项为2a+18，公比为3．
∴a_n+1-a_n+4=（2a+18）×3^n-1．
∴a_n+1-a_n=（2a+18）×3^n-1-4．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=（2a+18）×（3^n-2+3^n-3+…+3+1）-4（n-1）+a
=（2a+18）×$\frac{{3}^{n-1}-1}{3-1}$-4n+4+a
=（a+9）（3^n-1-1）-4n+4+a．
∵{a_n）为递增数列，∴?n∈N^*，a_n+1＞a_n都成立．
∴（a+9）（3ⁿ-1）-4（n+1）+4+a＞（a+9）（3^n-1-1）-4n+4+a．
化为：a＞$\frac{2}{{3}^{n-1}}$-9，
∵数列{$\frac{2}{{3}^{n-1}}$}单调递减，∴n=1时取得最大值2．
∴a＞2-9=-7．
即a＞-7．
故答案为：（-7，+∞）．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、“累加求和”方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．